消失点とn点透視

透視投影 で写した像では、実際には平行に伸びている直線が、1点へ向かって集まっていきます。
像にこの点がいくつ現れるかは、物体をどちらから写すかで変わります。
ここでは、この点の求め方と、点の数による透視図の分け方を見ていきます。

消失点

CG画像処理

まっすぐな廊下を正面から写した写真では、天井と壁の境目、床と壁の境目が、奥へ行くほど互いに近づいていきます。
これらの境目は実際には平行に伸びていて、空間の中で交わることはありません。それでも像の上で近づいていくのは、横へ同じだけずれた点であっても、奥にあるものほど像が中心の近くにできるためです。

平行な直線を奥へたどっていくと、その像の位置は、ある1点へ収束します。この点を消失点といい、消点とも呼ばれます。

投影中心を通り、2直線と同じ向きに引いた直線が投影面と交わる位置が、そのまま消失点になっていることがわかります。
この作図には、2直線が空間のどこを通っているかが出てきません。消失点の位置を決めているのは直線の向きだけで、向きさえ同じであれば、何本の直線であっても像は同じ1点へ集まります。

消失点が現れるのは、投射線が1点に集まる透視投影に限られます。投射線が互いに平行な平行投影 では、平行な直線の像も平行なままです。

消失点の位置

CG画像処理

消失点が向きだけで決まることは、投影の式からも確かめられます。

投影中心を原点に置き、奥行きの向きをz軸にとります。投影面は、投影中心から焦点距離 fだけ離れた位置に、z軸と垂直に置きます。
像の位置は、z軸が投影面と交わる画像中心を原点にとった画像座標(u, v)で表すことにします。

空間の点(x, y, z)とその像は、投影中心から見て同じ向きにあります。奥行きがzからfへ縮む割合f / zが、そのまま横方向と縦方向の位置にもかかります。

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{fx}{z}\\ & \\ v& =\frac{fy}{z}\end{array}$$

直線は、その上を通る1点(x, y, z)と、伸びる向き(a, b, c)で表せます。直線上の点は、tを実数として(x + ta, y + tb, z + tc)と書けるので、その像の位置は次のようになります。

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{f(x+ta)}{z+tc}\\ & \\ v& =\frac{f(y+tb)}{z+tc}\end{array}$$

分母と分子をtで割ると、通過点の座標はx / t・y / t・z / tという形で現れます。直線を奥へたどるほどtは大きくなり、これらは0に近づいていくので、残るのは向きの成分だけです。

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{fa}{c}\\ & \\ v& =\frac{fb}{c}\end{array}$$

ここで注目したいのは、この式に通過点(x, y, z)が残っていないという点です。直線が空間のどこを通っていても、向き(a, b, c)が同じであれば、像は同じ消失点へ収束します。

向きが投影面に平行な場合、つまり奥行きの成分cが0の場合は、この式で消失点を求められません。tを大きくすると分母が0に近づき、像は投影面の上をどこまでも遠ざかっていきます。投影面に平行な直線は、消失点をもたないのです。

n点透視

CG

直方体を透視投影で写す場面を考えてみます。直方体の稜線は互いに直交する3つの向きに分かれるので、現れる消失点は多くても3つです。

投影面に平行な向きの稜線には、消失点がありません。そのため、投影面に平行になる向きが2つあるか、1つだけか、1つもないかによって、像に現れる消失点の数は1個から3個の間で変わります。

この数によって、透視図は1点透視・2点透視・3点透視に分けられ、まとめてn点透視と呼ばれます。
CGでは消失点の数を直接指定することはなく、カメラをどこへ向けるかがそのままnを決めます。